Diberdayakan oleh Blogger.
RSS
Container Icon

Logika Matematika

Apakah Logika Itu?
Perhatikan ilustrasi berikut ini!
Anda adalah seorang siswa SMK yang baru saja lulus sekolah dan langsung memulai berwirausaha dengan berdagang, yang sebagian modalnya Anda pinjam dari seorang teman. Anda berjanji, “Bila saya tidak rugi, saya akan melunasi semua utang saya sesegera mungkin”. Keadaan berikut ini, yang manakah Anda dapat dikatakan ingkar janji?
i) Anda tidak rugi dan Anda melunasi utang dengan segera
ii) Anda tidak rugi dan Anda tidak melunasi utang dengan segera
iii) Anda melunasi utang padahal anda rugi
iv) Anda melunasi utang dan Anda tidak rugi
Jelas bahwa tanpa logika, kita sering melakukan kesalahan dalam penarikan kesimpulan.
Dalam kehidupan sehari-hari, sering kali kita di hadapkan pada suatu keadaan yang mengharuskan kita untuk membuat suatu keputusan. Agar keputusan kita itu baik dan benar, maka terlebih dahulu kita harus dapat menarik kesimpulan-kesimpulan dari keadaan yang kita hadapi itu, dan untuk dapat menarik kesimpulan yang tepat diperlukan kemampuan menalar yang baik.
Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik kesimpulan yang tepat dari bukti-bukti yang ada dan menurut aturan-aturan tertentu. Lalu apa kaitannya dengan logika?
Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Secara bahasa, logika berasal dari kata “logos” (bahasa Yunani), yang artinyakata, ucapan, pikiran. Kemudian pengertian itu berkembang menjadiilmu pengetahuan. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan argumen-argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip untuk ,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-simbol matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa yang biasa kita gunakan sehari-hari.
Pengertian Pernyataan dan Bukan Pernyataan
Sebelum membahas pernyataan, terlebih dahulu kita bahas pengertian kalimat. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti.
Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya.
Perhatikan beberapa contoh berikut!
1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam
2. 4 + 3 = 8
3. Frodo mencintai 1
4. Asep adalah bilangan ganjil
Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah, dan keduanya adalah pernyataan. Sementara contoh nomor 3 dan 4 adalah kalimat yang tidak mempunyai arti.
Sekarang perhatikan contoh di bawah ini!
1. Rapikan tempat tidurmu!
2. Apakah hari ini akan hujan?
3. Indah benar lukisan ini!
4. Berapa orang yang datang?
Kalimat di atas tidak mempunyai nilai benar atau salah, sehingga bukan pernyataan.
Catatan:
Suatu pernyataan biasa kita simbolkan dengan huruf kecil p,q,r,s, dan sebagainya.
Kalimat Terbuka
Perhatikan contoh berikut ini!
1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya
2. seseorang memakai kacamata
3. 2x + 8y > 0
4. x + 2 = 8
Keempat contoh di atas belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat yang demikian itu dinamakan kalimat terbuka. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan.
Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.
Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian.
Contoh:
x + 2 = 8
x adalah variabel, 2 dan 8 adalah konstanta, dan x = 6 untuk x anggora bilangan real adalah selesaian.
Secara skematik, hubungan kalimat, pernyataan, dan kalimat terbuka dapat kita rumuskan sebagai berikut:
Pernyataan Majemuk
Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu pernyataan-oernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang akan kita temui berupa kata sambung logika(conective logic):
clip_image002[4] : Merupakan lambang operasi untuk negasi
clip_image004[6] : Merupakan lambang operasi untuk konjungsi
clip_image006 : Merupakan lambang operasi untuk disjungsi
clip_image008 : Merupakan lambang operasi untuk implikasi
clip_image010 : Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi
1) Negasi (Ingkaran) Sebuah Pernyataan
Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu. “ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran menggunakan operasi uner (monar) “clip_image002[5]” atau “clip_image012[4]”.
Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya clip_image002[6]p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya clip_image002[7]p benar.
Definisi tersebut dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
B = benar
S = salah
Perhatikan cara membuat ingkaran dari sebuah pernyataan serta menentukan nilai kebenarannya!
1. p : kayu memuai bila dipanaskan (S)
-p: kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)
2. r : 3 bilangan positif (B)
-r : (cara mengingkar seperti ini salah)
3 bilangan negatif
(seharusnya) 3 bukan bilangan positif (S)
2) Pernyataan Majemuk
Pernyatan majemuk adalah pernyataan baru yang dibentuk dengan merantgkaikan pernyataan-pernyataan tunggal dengan kata sambung logika.
Contoh:
clip_image023 disebut konjungsi
clip_image025 disebut disjungsi
clip_image027 disebut Implikasi
clip_image029 disebut biimplikasi
3) Konjungsi (clip_image023[1])
Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.
Dengan tabel kebenaran
Contoh:
1. p : 5 bilangan prima (B)
q : 5 bilangan ganjil (B)
clip_image023[3] : 5 bilangan prima dan ganjil (B)
4) Disjungsi/ Alternasi (clip_image025[1])
Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif)
Dengan tabel kebenaran

Contoh:
1. : 1 akar persamaan clip_image039 (B)
q : -1 akar persamaan clip_image039[1] (B)
clip_image025[3] : 1 atau -1 akar persamaan clip_image039[2] (B)
2. : Bogor di Jawa barat (B)
: Bogor itu kota propinsi (S)
clip_image025[4] : Bogor di Jawa Barat atau ibu kota propinsi (B)
5) Implikasi/ Kondisional (clip_image027[1])
clip_image027[2] boleh dibaca:
jika p maka q
q hanya jika p
p syarat perlu untuk q
q syarat cukup untuk p
p disebut anteseden atau hipotesis
q disebut konsekuen atau konklusi
Implikasi clip_image027[3] bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.
Dengan tabel kebenaran

Contoh:
1. Jika 2 x 2 = 4, maka 4 : 2 = 2                                         (B)
(B)                                (B)
2. Jika manusia bersayap , maka kita bisa terbang    (B)
(S)                                                 (S)
6) Biimplikasi atau Bikondisional (clip_image029[1])
clip_image029[2] boleh dibaca:
jika dan hanya jika (disingkat “p jhj q”)
jika p maka qdan jika q maka p
syarat perlu dan cukup untuk q
q syarat perlu dan cukup untuk p
biimplikasi clip_image029[3] bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah.
Dengan tabel kebenaran

Contoh:
1. 2 x 2 = 4  jika dan hanya jika 4 : 2 = 2        (B)
(B)                                                  (B)
2. 2 x 4 = 8 jika dan hanya jika 8 : 4 = 0         (S)
(B)                                                (S)
Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi.
Implikasi : clip_image002[12]
Inversnya : clip_image004[8]
Konversnya : clip_image006[4]
Kontraposisinya : clip_image008[4]
Contoh:
Implikasi : Jika harimau bertaring, maka ia binatang buas
Inversnya : Jika harimau tidak bertaring, maka ia bukan binatang buas
Konversnya : Jika harimau binatang buas, maka ia bertaring
Kontraposisinya : Jika harimau bukan binatang buas, maka ia tidak bertaring
Dengan tabel kebenaran:
clip_image010[4]clip_image012[6]clip_image014[6]clip_image016[20]Implikasiclip_image002[13]Inversclip_image004[9]Konversclip_image006[5]Kontraposisiclip_image008[5]
BBSSBBBB
BSSBSBBS
SBBSBSSB
SSBBBBBB
Dari tabel di atas terlihat bahwa implikasi mempunyai nilai kebenaran sama dengan kontraposisi, dan nvers dengan konvers i. Sehingga dapat kita katakan bahwa implikasi setara dengan kontraposisi dan invers setara dengan konvers. Bisa kita tulis:
clip_image022
clip_image024
Catatan:
clip_image026” artinya ekivalen
Contoh:
Buatlah pernyataan yang setara dengan pernyataan: “jika ia benar-benar mencuri, maka pada saat pencurian harus berada di tempat ini.”
Jawab:
Implikasi setara dengan kontraposisi. Maka pernyataan itu dapat diubah menjadi, “jika pada saat pencurian tidak berada di tempat itu, maka ia tidak mencuri.”
Penarikan Kesimpulan (Inferensi)
1) Pengertian Argumen
Perhatikan beberapa contoh argumen berikut ini!
1. Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun (premis 1)
Harga barang naik                                                                            (premis 2)
Jadi permintaan barang turun                                                     (konklusi)
2. Jika clip_image002[18], maka clip_image004[14] (premis 1)
clip_image002[19] (premis 2)
Jadi clip_image004[15] (konklusi)
Dari contoh-contoh di atas, maka dapat kita rumuskan:
  • Argumen adalah serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan-ungkapan pernyataan “penarikan kesimpulan”
  • Argumen terdiri dari dua kelompok pernyatan, yaitu premis(pernyataan-pernyataan sebelum kesimpulan) dan sebuah konklusi(kesimpulan).
2) Modus ponens, modus tollens, dan sillogisma
Sekarang kita akan membahas 3 bentuk argumentasi yang sah, yaitu modus ponens, modus tollens, dan sillogisma.
1. Modus ponens
Modus ponens disebut juga kaidah pengasingan.
Bentuknya sebagai berikut:
clip_image006[10] (premis 1) berupa implikasi
clip_image008[10] (premis 2) berupa anteseden
——–
clip_image010[6] (konklusi)
Keabsahan (sah atau tidaknya) sebuah argumen dapat dilihat melalui tabel kebenaran.
clip_image008[11]clip_image014[8]clip_image006[11]
BBB
BSS
SBB
SSB
Argumentasi ini sah karena untuk premis clip_image006[12] dan benar, konklusi q juga benar.
Contoh:
Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun
Harga barang naik
Jadi permintaan barang turun
2. Modus tollens
Modus tollens disebut juga kaidah penolakan.
Bentuknya sebagai berikut:
clip_image006[13] (premis 1) berupa implikasi
clip_image018 (premis 2) berupa negasi dari konsekuen
———-
clip_image020 (konklusi)
Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:
clip_image008[13]clip_image014[10]clip_image022[6]clip_image018[1]clip_image006[14]
BBSSB
BSSBS
SBBSB
SSBBB
Argumen ini sah, karena untuk premis clip_image006[15] dan clip_image018[2]benar, konklusi clip_image022[7] juga benar.
Contoh:
Persamaan clip_image025[12]clip_image027[12], maka clip_image029[12] dan clip_image031[18] berlainan
clip_image029[13] dan clip_image031[19] tidak berlainan
Jadi persamaan clip_image025[13]clip_image033[6]
3. Silogisma
Bentuknya sebagai berikut:
clip_image006[16] (premis 1) berupa implikasi
clip_image035[6] (premis 2) berupa implikasi
———-
clip_image037 (konklusi)
Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:
clip_image008[14]clip_image014[11]clip_image039[8]clip_image006[17]clip_image035[7]clip_image042
BBBBBB
BBSBSS
BSBSBB
BSSSBS
SBBBBB
SBSBSB
SSBBBB
SSSBBB
Argumen ini sah, karena untuk premis clip_image006[18] dan clip_image035[8] benar, konklusi
clip_image042[1] juga benar.
Contoh:
Jika clip_image044, maka clip_image046
Jika clip_image046[1], maka clip_image048[4]
Jadi jika clip_image044[1], maka clip_image048[5]

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

0 komentar:

Posting Komentar